Montrer que la fonction est de classe \(\mathcal C^\infty\)
Définition
Définition :
Une fonction \(f:I\to{\Bbb R}\) possède un développement en série entière (au voisinage de l'origine) si on a une formule $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n$$ valable au moins dans un domaine \(]-\delta,\delta[\) pour un \(\delta\gt 0\)
(Série entière)
Définition :
On dit qu'une fonction \(f:X\to{\Bbb C}\) où \(X\subset{\Bbb C}\) possède un développement en série entière au voisinage de l'origine si on peut trouver \(\delta\gt 0\) avec \(D(0,\delta)\subset X\) et une série entière \(\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n\) tel que $$f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n\quad\text{ pour }\quad z\in D(0,\delta)$$
Définition :
Soit \(z_0\in X\)
On dit que \(f\) possède un développement en série entière au voisinage de \(z_0\) si on peut trouver \(\delta\gt 0\) tel que \(D(z_0,\delta)\subset X\) et $$S(f)_{z_0}(u)=\sum^{+\infty}_{n=0}c_n(f)_{z_0}u^n$$ tel que pour \(z\in D(z_0,\delta)\), on a : $$f(z)=f(z_0+(z-z_0))=\sum^{+\infty}_{n=0}c_n(f)_{z_0}(z-z_0)^n$$
Fonction analytique
Corollaire (de la convergence normale dans le rayon de convergence) :
Une fonction développable en série entière \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\delta,\delta[\) est continue sur \(]-\delta,\delta[\)
(Rayon de convergence (Convergence normale/uniforme))
Premier terme
Lorsqu'on a \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\), on a $${{f(0)}}={{a_0}}$$
Le développement en série se réduit à \(f(x)={{\sum^{+\infty}_{n=1}a_nx^n}}\) si et seulement si \(f(0)=0\)
Troncature en développement limité
Proposition :
Soit \(f\) une fonction qui possède un développement en série entière
On pose \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\delta,\delta[\)
Alors \(f\) possède un développement limité en \(0\) à tout ordre \(N\) qui s'obtient en tronquant son développement en série entière : $$f(x)={{\sum^N_{n=0}a_nx^n+x^N\varepsilon(x)\quad\text{ avec }\quad\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0}}$$
On peut trouver des fonctions qui ont un développement limité de tout ordre \(N\in{\Bbb N}\) mais qui ne sont pas développables en série entière
Unicité
Corollaire :
Le développement en série entière d'une fonction \(f:I\to{\Bbb R}\) est unique s'il existe
Intégrale d'un développement en série entière
Théorème :
Soit \(f:I\to{\Bbb R}\) une fonction donnée par \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(\lvert x\rvert\lt R\)
Soit $${{\varphi(x)}}={{\sum^{+\infty}_{n=0}a_n\frac{x^{n+1} }{n+1}=\sum^{+\infty}_{k=1}a_{k-1}\frac{x^k}{k} }}$$ le rayon de convergence \(\rho\) de cette série entière vérifie \(\rho=R\), et on a $$\varphi(x)={{\int^x_0f(t)\,dt}}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in\,]-R,R[}}$$
(Intégrale - Intégration)
Dérivée d'un développement en série entière
Théorème :
Soit \(f:I\to{\Bbb R}\) une fonction donnée par \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(\lvert x\rvert\lt R\)
Soit $${{\Psi(x)}}={{\sum^{+\infty}_{n=1}na_nx^{n-1}=\sum^{+\infty}_{k=0}(k+1)a_{k+1}x^k}}$$
le rayon de convergence \(\rho\) de cette série entière vérifie \(\sigma=R\), et on a $$\Psi(x)={{f^\prime(x)}}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in\,]-R,R[}}$$ et la fonction \(f\) donnée est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]-R,R[\)
(Dérivée - Dérivation)
Corollaire (théorème de dérivation d'un développement en série entière) :
Si \(f\) est une fonction définie par une série entière pour \(\lvert x\rvert\lt R\), alors \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) sur \(]-R,R[\)
(Classe de fonctions)
Corollaire (théorème de dérivation d'un développement en série entière) : $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\implies {{f^{(p)}(x)}}={{\sum^{+\infty}_{n=0}\left( a_{n+p}x^k\prod^p_{i=1}(n+i)\right)}}\quad\text{ pour }\quad \lvert x\rvert\lt R$$
(Dérivées successives)
Observation (en complément du corollaire sur le théorème de dérivation d'un développement en série entière) :
Si \(f:I\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathcal C^\infty\) possède un développement en série entière \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\delta,\delta[\), alors on a nécessairement $${{a_n}}={{\frac{f^{(n)}(0)}{n!} }}$$
(//Développement limité)
Remarque :
Toute fonction \(\mathcal C^\infty\) n'est pas dérivable en série entière
Principe de prolongement des identités
Observation (principe de prolongement des identités) :
Soient \(f,g:X\to{\Bbb C}\) qui possèdent les développements en série entière \(f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n\) et \(g(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}b_nz^n\)
Si on a \(f(x)=g(x)\) comme fonction d'une variable réelle \(x\in\,]-\delta,\delta[\), alors on a \(a_n=b_n\) (\(\forall n\in{\Bbb N}\)) par unicité du développement en DL
Et donc on a aussi \(f(z)=g(z)\) pour tout \(z\in D(0,\delta)\)
Développement en série entière de fonctions paires et impaires
\(f\) est paire si et seulement si son développement s'écrit : $$f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_{2n}x^{2n}$$
\(f\) est impaire si et seulement si son développement s'écrit : $$f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_{2n+1}x^{2n+1}$$
Liens avec la continuité
Observation (continuité) :
Si \(f:X\to{\Bbb C}\) possède un développement en série entière sur \(D(0,\delta)\), alors \(f\) est continue comme fonction d'une variable complexe sur \(D(0,\delta)\)
Si \(f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n\), alors $$\varphi(t)=f(zt)={{\sum^{+\infty}_{n=0}a_n(zt)^n}}$$
Opérations sur les séries entières
Addition
Théorème :
Soient \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\alpha,\alpha[\) et \(g(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}b_nx^n\) pour \(x\in\,]-\beta,\beta[\) des fonctions définies par des séries entières
On a : $${{f(x)+g(x)}}={{\sum^{+\infty}_{n=0}(a_n+b_n)x^n}}$$
Pour \(x\in\,]-\gamma,\gamma[\), avec \(\gamma={{\min(\alpha,\beta)}}\)
Produit
Théorème :
Soient \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\alpha,\alpha[\) et \(g(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}b_nx^n\) pour \(x\in\,]-\beta,\beta[\) des fonctions définies par des séries entières
On a : $${{f(x)\cdot g(x)}}={{\sum^{+\infty}_{n=0}\left(\sum^n_{k=0 }a_kb_{n-k}\right)}}$$ pour \(x\in\,]-\gamma,\gamma[\) avec \(\gamma={{\min(\alpha,\beta)}}\)
(Série de Cauchy - Produit de Cauchy)
Composition
Théorème :
Soient \(f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) pour \(x\in\,]-\alpha,\alpha[\) et \(g(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}b_nx^n\) pour \(x\in\,]-\beta,\beta[\) des fonctions définies par des séries entières
On suppose que \(g(0)=b_0\) vérifie \(\lvert g(0)\rvert\lt \alpha\iff g(0)\in\,]-\alpha,\alpha[\)
Alors on a : $${{f(g(x))}}={{\sum^{+\infty}_{n=0}\left(\sum^{+\infty}_{r=0}\underset{k_1+\ldots+k_r=n}{\sum_{(k_1,\dots,k_r)\in{\Bbb N}^r} }a_rb_{k_1}\dots b_{k_r}\right) x^n}}$$
Exemples fondamentaux
Fonction inverse
$${{\frac1{1-x} }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{x^n}}\quad\text{ pour }\quad x{{\in\,]-1,1[}}$$
$${{\frac1{x-\xi} }}={{-\frac1\xi\sum^{+\infty}_{n=0}\left(\frac x\xi\right)^n }}\quad\text{ pour }\quad x{{\in\,]-\lvert\xi\rvert,\lvert\xi\rvert[}}$$
(Fonction inverse (Développement limité en 0), //Série géométrique)
Exponentielle
$${{e^x }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{\frac{x^n}{n!} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\in{\Bbb R}}}$$
$${{e^z }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{\frac{z^n}{n!} }}\quad\text{ pour }\quad z{{\in{\Bbb C}}}$$
(Fonction exponentielle (Développement limité en 0))
$${{\overline{e^z} }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{\frac{\bar z^n}{n!} }}={{e^{\bar z} }}$$
Cosinus
$${{\cos(x) }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{(-1)^n\frac{x^{2n} }{(2n)!} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in{\Bbb R}}}$$
$${{\cos(z) }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{(-1)^n\frac{z^{2n} }{(2n)!} }}\quad\text{ pour }\quad z{{\,\in{\Bbb C}}}$$
Sinus
(Cosinus (Développement limité en 0))
$${{\sin(x) }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{(-1)^n\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in{\Bbb R}}}$$
$${{\sin(z) }}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{(-1)^n\frac{z^{2n+1} }{(2n+1)!} }}\quad\text{ pour }\quad z{{\,\in{\Bbb C}}}$$
(Sinus (Développement limité en 0))
Logarithme
$${{\ln(x+1) }}=\sum^{+\infty}_{n=1}{{(-1)^{n-1}\frac{x^n }{n} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in\,]-1,1[}}$$
(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0))
$${{\ln(z+1) }}=\sum^{+\infty}_{n=1}{{(-1)^{n-1}\frac{z^n }{n} }}\quad\text{ pour }\quad z{{\,\in D(0,1)}}$$
$${{-\ln(1-x) }}=\sum^{+\infty}_{n=1}{{\frac{x^n }{n} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in\,]-1,1[}}$$
Arctangente
$${{\arctan x}}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{(-1)^n\frac{x^{2n+1} }{2n+1} }}\quad\text{ pour }\quad x{{\,\in\,]-1,1[}}$$